## 概要

どんな三角形 $ABC$ においても、辺 $AB$ の中点を点 $M$ としたとき、以下の関係が成り立つ。

![](https://files.okedou.app/markdownx/1d857895-174b-4fc8-9fd7-22d8e4aaaaca.png)

これを**中線定理**という。

## 証明

![](https://files.okedou.app/markdownx/4d14222f-b91f-4f2c-bcfe-dbab5c10bedb.png)

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とし、$\angle AMB = \theta$ とすると、 $\angle AMC = 180^{\circ} - \theta$ となる。

$\triangle AMB$ において、[余弦定理](https://dic.okedou.app/words/p/0BG5g28lPIUgO)より、

$$
AB^{2}=AM^{2}+BM^{2}-2AM\cdot BM\cdot\cos \theta \cdots(1)\\\\
$$

$\triangle CMB$ において、[余弦定理](https://dic.okedou.app/words/p/0BG5g28lPIUgO)より、

$$
\begin{align} 
AC^{2}=&AM^{2}+MC^{2}\\\\
&-2AM\cdot MC\cdot\cos(180^{\circ} -\theta ) \cdots(2)
\end{align} 
$$

ここで、以下の式

$$BM = MC$$

$$\cos(180^{\circ} -\theta )=-\cos \theta$$

が成り立つので（2つ目は[180°関係の辞書](https://dic.okedou.app/words/p/TJHztOfQcaKez)を参照）、$(2)$ は

$$
AC^{2}=AM^{2}+BM^{2}+2AM\cdot BM\cdot\cos\theta \cdots(2)'
$$

と表される。よって、$(1)$ と $(2)'$ を両辺足すと、

$$
AB^{2}+AC^{2}=2(AM^{2}+BM^{2})
$$

となる。

### 補足

どの辺を足すかや $2$ 倍するかどうかを思い出せない場合は、一辺が $2$ の正三角形などの**簡単な図形で、実際にそれぞれの辺の長さを出して計算してみる**と、合っているかがわかる。

なお、実は中点じゃないバージョンに拡張したスチュワートの定理というものもあるので、興味のある方は[Mathkaratさんの動画](https://okedou.app/videos/dq-TzUhYWL4)を参照！

中線定理

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