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条件付き確率


概要

事象 が起こったとして、そのもとで事象 の起こる確率を、 が起こったときの の条件つき確率といい、 で表し、次の式で計算できる。

つまり、 事象 と事象 がともに起こる場合の数を、 事象 が起こる場合の数で割る( は共通部分)。

この式の右辺の分母分子をそれぞれ、起こりうる全ての事象の場合の数で割ると、

となり、 のように場合の数を使って求めるのではなくて、事象 と事象 がともに起こる確率を、事象 が起こる確率で割っても計算できることがわかる。

言葉で書いても、ちょっと何言ってるかわからないので、例で考えよう。

サイコロを 回振って、奇数が出たということがわかったとして、そのもとで目が 以上になっている確率は、

と計算できる。(奇数かつ 以上の目は 通り、奇数の目は 通りより)

イメージはこんな感じ。ベン図で捉えるとわかりやすい。

Untitled P1 128.png

補足

上の例で、分母を全事象の 通りにしてしまうと、条件付き確率が求められない。

上の条件付き確率の式を変形した次の式を、かっこよく乗法定理と呼んだりする。

この式は、くじの例で考えるとわかりやすくい。 本中 本が当たりのくじから、 くんと さんが元に戻さずに順に引くとき、ともに当たる確率を考える。

が当たる確率を が当たって が当たる条件付き確率を として、ともに当たる確率 は、

と求められる。無意識に使っている人が多いと思うが、一度意識して考えてみよう。

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