ドップラー効果

概要

救急車の音でおなじみのドップラー効果。救急車が自分の前を通り過ぎるときに、「ピーポーピーポー」から「ファーホーファーホー」（文字情報の限界...）に変わった経験は、多くの人にあると思う。これはどんな物理現象が起きているのだろうか。

実は、音を出す音源である救急車と、自分という観測者（聞くもの）がいたときに、音源に対して観測者が相対的に動いていると、音源のもともとの振動数とは異なった振動数の音を観測することになる。これがドップラー効果である。

公式を正しく使えるようにするのも大事だが、難しい問題になるとひねってくるので、導出を理解して応用できるようにしよう。

結論から言うと、音源の振動数を 、音の速さを 、音源の速度を 、観測者の速度を とするとき、観測者（聞くもの）が観測する音の振動数は、

で表される。

ただしここでは、 に関しては、音源から観測者の向きを正とし、音源と観測者が一直線上を移動する場合の式である。（斜めを動く場合は、下の発展を参照）

では、順を追って導出していこう。主人公を見失いやすいので、誰にとってのどういう波の物理量を考えているのか、を特に意識していこう！

音源だけ動く場合

音源から観測者に向かう方向を正として、振動数 の音波を出す音源が速度 で動いているとする。（遠ざかる向きに動いていたら は負になる）

このとき、観測者に届く音波の振動数 、つまり 秒間に何個の波を受け取るかについて考えたい。

まずは、動く音源から出る波が、 秒間でどんな状況になっているか確認しよう。

音源はどんだけ早く動いていても、 秒間で波を 個出す。波の始まりは、媒質である空気中の音の速さが なので、 だけ移動する （音源が動こうと、空気中の音の速さは変わらない！）。

この間、音源は だけ移動しているので、波は の距離に 個入っていることになる。よって、観測者に届く音波の波長は、

となる。

観測者に届く音波の振動数 は、波の基本式から、

と求められる。

波が縮んで、 秒間あたりに受け取る波の個数が増える、つまり振動数が増えるイメージを持っておこう！

観測者だけが動く場合

音源から観測者に向かう方向を正として、振動数 、波長 の音波を出す音源が止まっていて、観測者が速度 で動いているとする。（観測者が音源の方に向かって動いていたら、 は負になる）

このとき、観測者に届く音波の振動数 、つまり 秒間に何個の波を受け取るかについて考えたい。

まずは、観測者が受け取る波が、 秒間でどんな状況になっているか確認しよう。

音源は、 秒間で波を 個出す。あるとき観測者を通り過ぎた音波は、媒質である空気中の音の速さが なので、 だけ移動する （観測者が動こうと、空気中の音の速さは変わらない！）。

この間、観測者は だけ移動し、その間に観測者は 個の波を受け取っているので（ここを としないように！）、波は の距離に 個入っていることになる。さらに、音源が出す音波の波長は であるから、観測者に届く音波の振動数 は、

となり、波の基本式から、音源が発出する音波について

であるので、観測者に届く音波の振動数 は、

と求められる。

遠ざかる分、 秒間に通りすぎる波の個数が減る、つまり振動数が減るイメージを持っておこう！

音源も観測者も動く場合

音源から観測者に向かう方向を正として、振動数 の音波を出す音源が速度 で動いていて、観測者が速度 で動いているとする。（音源が遠ざかる向きに動いていたら は負になり、観測者が音源の方に向かって動いていたら、 は負になる）

このとき、観測者に届く音波の振動数 、つまり 秒間に何個の波を受け取るかについて考えたい。

まずは、観測者が受け取る波が、 秒間でどんな状況になっているか確認しよう。

音源はどんだけ早く動いていても、 秒間で波を 個出す。あるとき観測者を通り過ぎた音波は、媒質である空気中の音の速さが なので、 だけ移動する （音源や観測者が動こうと、空気中の音の速さは変わらない！）。

この間、観測者は だけ移動し、その間に観測者は 個の波を受け取っているので（ここを としないように！）、波は の距離に 個入っていることになる。

ここで、上の音源が止まっているケースと異なり、音源も動いているので、観測者に届く音波の波長は、上の（）と同じく、

である。よって、観測者に届く音波の振動数 は、

と求められる。

音源が近づく分、波が縮んで 秒間あたりに受け取る波の個数が増えるが、観測者が遠ざかる分、 秒間に通りすぎる波の個数は減る、というイメージを持っておこう！

補足：斜めに動く場合

これまでは音源や観測者が一直線上を動くときを考えたが、斜めに動くときはどうだろうか？

音源や観測者が観測する振動数 に影響を与えるのは、音源や観測者の波の伝わる方向の成分のみなので、速度を分解してドップラー効果の式を考えればOK。

つまり、上のような設定で、観測される振動数 は、

で求められる。

補足：風が吹く場合

風が吹く場合には、音速がその分増減するので、ドップラー効果の式の を次のように書き換えればOK。音源から観測者の向きを正として、

• 風が正の向きに速さ で吹くとき、音速は （追い風のようなイメージ）
• 風が負の向きに速さ で吹くとき、音速は （向かい風のようなイメージ）

他の補足

反射板がある場合には、一旦観測者として音波を受け取り、直後に同じ振動数で音波を出す音源になる、と考えて、ドップラー効果の式を2回使えば大丈夫。