## 概要

数学IIIで三角関数の極限が出てきたらこれ、というくらい定番の人気者。消しゴムのMONOのようなモノ。ダジャレではない。

$$
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
$$

大事なのは、 **分母の文字と分子の $\sin$ の中身の文字が等しい**ときに、この式が成り立つということ。下の例でも確認しよう。

## 例

【問】以下の値を求めよ。

$$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2} $$

【答】変形しまくって **$\sin$ を発掘**してあげて、上の形が使えるところに持っていく。

$$
\begin{align}
&\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}\\\\
=&\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos 2x)(1+\cos 2x)}{x^2(1+\cos x)}\\\\
=&\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos 2x)(1+\cos 2x)}{x^2(1+\cos 2x)}\\\\
=&\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2\cdot \frac{4}{1+\cos 2x}\\\\
=&2
\end{align}
$$

なお、初めの分子を半角の公式で変形しても解ける。

## 証明

これは知っていないとなかなか証明できない。概略は以下の通り。

![](https://files.okedou.app/markdownx/439338b0-3b51-480c-b956-9c99d475b177.png)

上の図のように、半径が $1$ で中心角が $x[\mathrm{rad}]$ の扇型 $OAB$ に対して、2つの三角形 $OAB$ と $OBC$ を作る（ **$x$ は十分に $0$ に近い正の数とおく** ）。

これらの面積の関係は、

$$三角形OAB<扇型OAB<三角形OBC$$

なので、それを式にすると、

$$
\begin{align} 
\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin x&<\pi \cdot1^2\cdot \frac{x}{2\pi}<\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \tan x\\\\
\sin x&<x<\tan x
\end{align} 
$$

全ての辺を $x>0$ で割って、整理すると、

$$
\cos x<\frac{\sin x}{x}<1
$$

ここで、

$$
\lim_{x\to +0}\cos x=\lim_{x\to +0}1=1
$$

なので、**はさみうちの原理**（[辞書はこちら](https://dic.okedou.app/words/%E3%81%AF%E3%81%95%E3%81%BF%E3%81%86%E3%81%A1%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86)）により、

$$
\lim_{x\to +0}\frac{\sin x}{x}=1
$$

が示される。この式に $x=-t$ を代入して変形すると、

$$
\lim_{t\to -0}\frac{\sin t}{t}=1
$$

も示される。よって極限は $1$ となる。

### 補足

- 三角比で$\sin $以外が出てきたら、三角比の公式をフル活用して **$\sin$を引っ張り出す** 。
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}$という極限ではない場合（無限大に飛んでいったり）には、**置換して**この形に持っていく。
- $x$ がマイナスの時は、置換すれば上と同様に示せる。例えば、[こちらの福田次郎さんの証明動画](https://okedou.app/videos/juecBYrRkAM)を参照しよう。

x分のsinxの極限

概要

例

証明

補足

タグ