## 概要

$\triangle OAB$ の面積は、2つの辺とそのなす角の [$\sin$](https://dic.okedou.app/words/p/zMDmqlvlaHdLH) を使って、

$$S=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot\sin\angle AOB$$

で計算できる。道ゆく人に、三角形の面積公式は？と聞いたら、ほとんどの人は「底辺×高さ÷2」と答えると思うが、高校数学では、 **2つの辺とそのなす角の $\sin$ の情報**があれば、どんな三角形の面積もすぐに計算できるようになる。

ちょっと大人になった気分。

また、数学Bのベクトルの範囲になるが、$\triangle OAB$ の面積は、

$$
S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2}
$$

を使っても計算できる。さらに、

$$
\begin{align} 
\overrightarrow{OA}&=\overrightarrow{a}=(a_0,a_1)\\\\
\overrightarrow{OB}&=\overrightarrow{b}=(b_0,b_1)
\end{align} 
$$

とおくと、成分で計算することもできて、

$$
S=\frac{1}{2}\left|a_0b_1-a_1b_0\right|
$$

となる。

## 証明（ベクトルじゃない方）

三角形の面積公式

$$S=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot\sin\angle AOB\cdots\star$$

を示す。頂角の大きさによって図が変わってくるので、以下、$\angle AOB$ の大きさにより場合分けする。

【 i 】 $\angle AOB<90^{\circ}$ のときは、

$B$ から $OA$ に垂線を下ろすと、垂線の足 $H$ は線分 $OA$ 上にある。

![Untitled P1.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/boAK0JqpnPWDI/9c2282d15d1a42199f2860eba8e9931a.png)

高さ $BH$ については、$\triangle OHB$ に着目すると

$$
\begin{align} 
BH&=OB\cdot\sin\angle HOB\\\\
&=OB\cdot\sin\angle AOB
\end{align} 
$$

と求められるので、三角形の面積は

$$
\begin{align}
S&=\frac{1}{2}\cdot OA \cdot BH\\\\
&=\frac{1}{2}\cdot OA \cdot OB\cdot\sin\angle AOB
\end{align}
$$

となり $(\star)$ が示される。

【 ii 】 $\angle AOB=90^{\circ}$ のときは、

![Untitled P2.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/boAK0JqpnPWDI/7b99e120b5874f6bb720b6460f8ad788.png)

$\sin\angle AOB=1$ となるので、三角形の面積は、

$$
\begin{align}
S&=\frac{1}{2}\cdot OA \cdot OB\\\\
&=\frac{1}{2}\cdot OA \cdot OB\cdot\sin\angle AOB
\end{align}
$$

となり $(\star)$ が示される。

【 iii 】 $\angle AOB>90^{\circ}$ のときは、

$B$ から $OA$ に垂線を下ろすと、垂線の足 $H$ は線分 $OA$ の**外にある**。

![Untitled P3.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/boAK0JqpnPWDI/f45752c9cd204e32842d56c7e84167cb.png)

高さ $BH$ については、$\triangle OBH$ に着目すると

$$
\begin{align}
BH&=OB\cdot\sin\angle HOB\\\\
&=OB\cdot\sin (180^{\circ}-\angle AOB)\\\\
&=OB\cdot\sin \angle AOB
\end{align}
$$

と求められるので、三角形の面積は

$$
\begin{align}
S&=\frac{1}{2}\cdot OA \cdot BH\\\\
&=\frac{1}{2}\cdot OA \cdot OB\cdot\sin\angle AOB
\end{align}
$$

となり $(\star)$ が示される。（[180°関係の公式](https://dic.okedou.app/words/p/TJHztOfQcaKez)を利用している）

以上【 i〜iii 】で証明完了。

## 証明（ベクトルの方）

上で示した三角形の面積公式

$$
S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\angle AOB
$$

を使って、示していく。ここでは三角形が存在しているとして、

$$0<\angle AOB<\pi$$

で考える。

$$
\begin{align}
S&=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sqrt{1-\cos^2\angle AOB } \\\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2-\left(|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\angle AOB\right)^2} \\\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2}\cdots\star \\\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{\left(a_0^2+a_1^2\right)\left(b_0^2+b_1^2\right)-\left(a_0b_0+a_1b_1\right)^2}\\\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{\left(a_0b_1-a_1b_0\right)^2}\\\\
&=\frac{1}{2}\left|a_0b_1-a_1b_0\right|\cdots\star 
\end{align}
$$

となって、示したかった式 $(\star)$ がそれぞれ示された。（1行目で[三角比の公式](https://dic.okedou.app/words/p/068nD9NIopdXh)、3行目で[内積](https://dic.okedou.app/words/p/035f0atfQy5fu)の式を使っている）

### 補足

- 面積を求めたい三角形の1つの頂点を基準点として、残りの2点の位置ベクトルを求めると、このベクトルの公式が使える（上では基準点をOとして考えているが、原点である必要はない）
- 成分表記の内積を使ったうまい証明は、[ガチでノビる受験数学のシーナさんの動画](https://okedou.app/videos/nLsFK2vTAAU)を参照。
- **ベクトルでの表記は空間ベクトルでも成り立つが、成分表記は平面ベクトルのみで成立**。これは勘違いしやすいので注意を！
- 成分表記はよく忘れてしまう。記憶が曖昧なときは、 **わかりやすい簡単な図形**、例えば下の $\triangle OAB$ で確かめてみると良い

$$\overrightarrow{OA}=(0,1),\overrightarrow{OB}=(2,0)$$

![Untitled P1 146.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/boAK0JqpnPWDI/160da0739ec34b68b25f7eae660affae.png)

三角形の面積

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