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二項間漸化式


概要

の間に成り立つ漸化式を二項間漸化式といい、特に を定数とした、

の形はノーヒントで解けるようにしておく必要がある。

この漸化式は、 を、とある文字 に置き換えた方程式

の解を用いて、

と書き換えられる。ここで、数列 の各項から を引いた、新しい数列 を考えると、これは公比 の等比数列となり一般項が計算できる。

ちょっと何を言っているかわからない人は、下の例で確認しよう。

漸化式

を解く。そのために、まずは方程式

を解くと、 なので、与えられた漸化式は

と変形できる。よって、数列 は、初項 、公比 の等比数列なので、一般項は、

と求められる。「等比数列」の辞書を復習したい方はこちらから

証明

なぜいきなりこのような方程式

が出てきたのかについて考える。これは、与えられた二項間漸化式を、 ある文字 を使って

に変形して、解ける形にしたいなあ、というのが出発点。これを変形すると、

となるので、これが、元の漸化式と等しくなるためには、係数同士を比較して

となるような を見つければ良い。

なので、方程式

を解いて出てきた を使うとうまく変形できるという、答えありきな感じで出てきた方程式であった(特に である必要もないのだが、よく を使う)。文章で書かれてもわからん!という方は、ヨビノリさんのこちらの「特性方程式」についての動画がおすすめ。

補足

漸化式は、自分で を計算してみて、 一般項の答えがあってそうかどうか確認できるので、安心感がある。

は、特性方程式とも呼ばれる。

のときは、上の特性方程式が解を持たないが、少し数列を考えてみると

  • かつ が定数のときは、 等差数列の漸化式
  • かつ の関数のときは、 階差数列の漸化式

となって、基本的に解ける。「等差数列」の辞書はこちらから「階差数列」の辞書はこちらから

縄跳びで、二重跳びの後に三重跳びに挑戦するようなイメージで、二項間漸化式をマスターした方は、三項間漸化式にチャレンジしよう。三重跳びよりは簡単。

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