二項間漸化式
概要
の形はノーヒントで解けるようにしておく必要がある。
この漸化式は、
の解を用いて、
と書き換えられる。ここで、数列
ちょっと何を言っているかわからない人は、下の例で確認しよう。
例
漸化式
を解く。そのために、まずは方程式
を解くと、
と変形できる。よって、数列
と求められる。「等比数列」の辞書を復習したい方はこちらから。
証明
なぜいきなりこのような方程式
が出てきたのかについて考える。これは、与えられた二項間漸化式を、 ある文字
に変形して、解ける形にしたいなあ、というのが出発点。これを変形すると、
となるので、これが、元の漸化式と等しくなるためには、係数同士を比較して
となるような
なので、方程式
を解いて出てきた
補足
漸化式は、自分で
かつ が定数のときは、 等差数列の漸化式 かつ が の関数のときは、 階差数列の漸化式
となって、基本的に解ける。「等差数列」の辞書はこちらから。「階差数列」の辞書はこちらから。
縄跳びで、二重跳びの後に三重跳びに挑戦するようなイメージで、二項間漸化式をマスターした方は、三項間漸化式にチャレンジしよう。三重跳びよりは簡単。