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余弦定理


三角形の辺の長さを とし、対応する角の大きさを とするとき、

が成り立つ。これを余弦定理という。正弦定理・余弦定理・接弦定理という弦三兄弟の真ん中(非公式)。 について整理した

を使うことも多い。特にベクトルの分野では、内積とからめて下の式がよく登場する。

図のイメージは以下の通り(残りの角 でも同様に成り立つ)。

Untitled 1 P2.png

証明

Untitled P1 144.png

から線分 に対して垂線を下ろし、足を とする(線分 上にあるとする)。

このとき、

と表わせる。三角形 について三平方の定理を用いると、

となり示された。( を用いた)

ちなみに、 が線分 上になくても、 関係の公式

などを考えれば、上と同じ証明で行けるので、是非考えてみよう!動画でじっくり学びたい方は、林俊介さんの動画Mathkaratさんの動画がオススメ。

補足

余弦定理の使い方としては 通りあり、

  • 辺とその間に挟まれた角から、残りの辺の長さを求めることができる
  • 辺から、ある角の を求めることができる(どの角でもOK)

下の三角形の例で確認しよう!

Untitled 1 P1 11.png

また、余弦定理を使うと、長さの解が2つ出てくることがある。その理由と、そのときにどうすれば良いかについては、例えばぶおとこばってんの動画を参照。

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