## 概要

三角関数の和

$$ a\sin \theta +b\cos \theta$$

を、以下のように変形することを**三角関数の合成**と呼ぶ（$a=b=0$ ではないとする）。

$$
\begin{align}
&a\sin \theta +b\cos \theta \\\\
=&{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\left(\sin \theta \times{\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}+\cos \theta \times{\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}\right)\\\\
=&{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\left(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha \right)\\\\
=&{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin \left(\theta +\alpha \right)
\end{align}
$$

最後は[加法定理](https://dic.okedou.app/words/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E5%AE%9A%E7%90%86)を使っている。途中でいきなり新しい角度 $\alpha$ が出てきてギョッとするが、これは、

$$
\begin{cases}
\cos \alpha ={\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}\\\\
\sin \alpha ={\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}
\end{cases}
$$

を満たす角で、このような $\alpha$ は **$0\leqq\alpha< 2\pi$ にただ $1$ つ存在** する。

$\alpha$を図形的に示すと、以下の通りとなる。

![](https://files.okedou.app/markdownx/4ec7864c-da6d-41af-890d-7e78196edaa0.png)

この新しい角度を作ったことによって、 **$\sin$ の式と $\cos$ の式を、一つにまとめることができた**。

## 例

【問】$0\leqq \theta< 2\pi$ の範囲で、以下の方程式を解け。

$$\sin\theta - \cos\theta = 1$$

【答】$\cos$ と $\sin$ の中身が同じなので、合成によって左辺を1つにまとめることができる。（符号がマイナスでも、全く同じように加法定理で考えればOK）

$$
\begin{align}
&\sin\theta - \cos\theta \\\\
=&\sqrt{2}\left(\sin\theta\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos\theta\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\\\
=&\sqrt{2}\left(\sin\theta\cos\frac{\pi}{4}-\cos\theta\sin\frac{\pi}{4}\right)\\\\
=&\sqrt{2}\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)
\end{align}
$$

よって方程式は

$$
\begin{align}
\sqrt{2}\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)&=1\\\\
\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)&=\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}
$$

となる。ここで、角度の範囲は

$$-\frac{\pi}{4}\leqq \theta-\frac{\pi}{4}< \frac{7}{4}\pi$$

より、

$$
\begin{align}
\theta-\frac{\pi}{4}&=\frac{\pi}{4}, \ \frac{3}{4}\pi\\\\
\theta&=\frac{\pi}{2}, \ \pi
\end{align}
$$

と求まる。（ゴールはあくまでも **$\theta$ を求める**ということに注意！！）

![Untitled 1 P1 48.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/svngexyQZEkIZ/6374423ed0f34acab5c0576e7bfea108.png)

### 補足

これはとても大事な変形で、補足もたっぷりある。

- 覚えなくても、上の式変形のように**作れればOK**
- 実際に合成するときは、上のように変形を行なっていき、$\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ から **$\alpha$ を自分で求める** 
- 有名角として $\alpha$ が求められない場合は、$\alpha$ のまま置いておく
- $\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ のどちらかからだけだと、基本的には $\alpha$ は一つに決まらないので、 **必ずどちらも使って、単位円上で $\alpha$ を決定**するようにしよう
- 最初の $\cos$ と $\sin$ の**中身の角度（$\theta$）が違うと使えない**ので注意
- 上の例題のように、合成することにより式の項数を減らすことができるので、**方程式や不等式を解くのがとても楽になる**
- ちなみに、$\cos$ で合成することもできるので、上と同様に考えてみよう。

合成

概要

例

補足

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