## 概要

放物線

$$ 𝑦=𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐 $$

と直線

$$ 𝑦=𝑝𝑥+𝑞 $$

の交点の $𝑥$ 座標を $𝛼, 𝛽$ $(𝛼<𝛽)$ とすると，この放物線と直線で囲まれた図形の面積 $S$ は次の式で求められる（下の**証明の式変形**をおさえておくことが大事で、面積の問題じゃなくても**定積分の計算にとても役立つことがある**）。必殺奥義的なもの。**通称「$6$ 分の $1$」公式**。

![Untitled P1.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/6PIiHyFqJfKT9/2b3596749e7343c0aa7fc5fd77e59dcc.png)

また、放物線

$$ 𝑦=𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐 $$

と接線

$$ 𝑦=m𝑥+n $$

の接点の $𝑥$ 座標を $𝛼$ とすると，この放物線と接線と $𝑥=𝑘$ で囲まれた図形の面積 $S$ は次の式で求められる。

![Untitled P2.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/6PIiHyFqJfKT9/510a99d4430b45ee9e2aa9bee174f2da.png)

さらに、放物線

$$ 𝑦=𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐 $$

と $2$ 本の接線の接点の $𝑥$ 座標を $𝛼,𝛽 (𝛼<𝛽)$ とすると、この放物線と $2$ 接線で囲まれた図形の面積 $S$ は次の式で求められる。

ちなみに、この **$2$ 本の接線の交点の $𝑥$ 座標は必ず $\displaystyle \frac{𝛼+𝛽}{2}$** となる。

![Untitled P3.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/6PIiHyFqJfKT9/9e9b5b0681f6430b9ac832713a0edf75.png)

## 証明

例として、$1$ つ目の公式を $a>0$ の場合で示す。$a<0$ や残りの式についても、同様にして求めることができる。

**下の★の値が $\displaystyle\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3$ と計算できる**ことがとても大事（下の証明の式変形をおさえれば、 **放物線同士**でも応用できる）。面積を求める計算以外にも、[極大値と極小値の差を求める問題](https://okedou.app/videos/-ek-Y1RlAO4)などでも、この式変形が活躍したりする。（リンクを飛んで動画を確認しよう）

$$
\begin{align}
S &= \int_\alpha^\beta \left((𝑝𝑥+𝑞)-(𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐) \right) dx\\\\
&= \int_\alpha^\beta \left(-a(x-\alpha)(x-\beta) \right) dx\cdots★\\\\
&=-a \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx\\\\
&=-a \int_\alpha^\beta (x-\alpha)\left((x-\alpha)+(\alpha-\beta)\right) dx\\\\
&=-a \int_\alpha^\beta \left((x-\alpha)^2+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\right) dx\\\\
&= -a \left[ \frac{1}{3}(x-\alpha)^3+\frac{1}{2}(\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\right]_\alpha^\beta \\\\
&= -a\left(\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3-\frac{1}{2}(\beta-\alpha)^3\right)\\\\
&= \frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{align}
$$

なお、証明の式変形に出てくる[「1次式のn乗の積分」の辞書はこちら](https://dic.okedou.app/words/p/Fum3aUGFXAWXe)。とても使える技！

### 補足

- 「$6$ 分の $1$」公式の詳しい証明動画は、たとえば[ヨビノリさんの証明動画](https://okedou.app/videos/-Mh26tY9wX0)、[古賀真輝さんの証明動画](https://okedou.app/videos/S8m7jcu-yBw)、[AKITOさんの証明動画](https://okedou.app/videos/3jlVL8yv4jE)などを参照
- より発展的な **「見方」** は[ガチでノビる受験数学さんの動画](https://okedou.app/videos/WrUMU6j9Khk)を参照
- $2$ つ目の公式を「$3$ 分の $1$ 公式」、$3$ つ目の公式を「$12$ 分の $1$ 公式」と呼ぶことも多い。
- 実は「$12$ 分の $1$ 公式」と呼ばれる公式には、 **あと $2$ パターン**あって、気になる方はこの[河野玄斗さんの動画](https://okedou.app/videos/0KmXiVjSUmo)を参照。$3$ 次関数バージョンは[こちらの「1次式のn乗の積分」の辞書](https://dic.okedou.app/words/p/Fum3aUGFXAWXe)でも確認できる。
- これらの式は、 **覚えておかないと解けないことはないが、覚えていると時間を短縮できたり、答えが合っているか確認できる**、という必殺奥義的なもの

放物線の面積公式

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