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極形式


概要

これまで、平面上の点の位置を (直交座標)で表してきたが、それを、 原点からの距離 と、 軸の正の向きからの角度 で測った座標のことを、 極座標という。

これを用いて、複素数平面上の複素数 を極座標表示したものを、 極形式という。

直交座標での表示 と極座標での表示の関係式は、下の図からわかる通り、

であり、これを用いると、この複素数の極形式は以下の形になる。

には名前がついていて、 を複素数 絶対値 を複素数 の偏角という。

の極形式は、

より、

このように、極形式に変形するときは、 を決める必要があるが、 グラフで考えるとわかりやすい

補足

極形式では、 の角度とまぎらわしいので、 を前に出すことが多い(直交座標での表示()の時は、基本的に はうしろに来る)。

なぜ でくくったかについては、 の部分と の部分を分けると、複素数の掛け算や割り算をスッキリ考えることができて、楽しいことが起きるからである(例えば「ド・モアブルの定理」が使える)。これが極形式の醍醐味である。

また、(つまり複素数平面での原点)を極形式で表すと、 は任意となる。( の情報だけで原点が表されることになる)

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