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正弦定理


概要

三角形の辺の長さが と与えられ、対応する角の大きさが と与えられるとき、 を三角形の外接円の半径とおくと、

が成り立つ。これを正弦定理という。正弦定理・余弦定理接弦定理の弦三兄弟の長男(非公式)。図のイメージは以下の通り。 の存在感が薄いので忘れやすい。また、 を直径と考えないように注意。

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証明の概要

直角三角形・鋭角三角形・鈍角三角形に分けて証明する。ここでは概要のみさらっと紹介するので、証明の詳細は例えば古賀さんの正弦定理の証明動画や、Mathkaratさんの証明動画などで確認しよう。

  • 直角三角形のとき、 の定義から示せる
  • 鋭角三角形のとき、円周角の定理を使いつつ、直角の円周角を作りにいく
  • 鈍角三角形のとき、三角形の外接円上に 点を取り、鈍角の内対角を作ると、鋭角三角形が新たにできて、上で示したことと下の関係式で示せる

公式の使い方が大事で、使う場面としては 通りある。

  • 対応する 組の辺と角(例:と、他の辺か角が つわかっているとき(例:に、その対応する角か辺(例:を求めることができる
  • 対応する 組の辺と角(例:から外接円の半径 を求めることができる

下の例で確認しよう。

【例】下の三角形で、辺 の長さと外接円の半径 を求めよ。

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【答】まずは の長さについて、正弦定理から、

と求められる。外接円の半径 についても、同様に正弦定理から

と求められる。

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タグ

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# 正弦定理は2辺2角