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等差数列


概要

という数の並びをイメージしよう。ずつ増えていることがわかる。

このように、 次の数との差が常に等しい数列を、「等差数列」 と呼ぶ。(数列とカッコよく書いているが、簡単に言うと数の並び)

また、次の数との差を公差と呼び、基本的に で表す。この例では

数列の何番目にどういう数字がくるか、すぐにわかるようにしたものが、「一般項」と言われるもので、第 項目の数を を使って表現し、基本的に と書く。

等差数列の場合は、

となる。( は初項と呼ばれ、つまり数列の最初の数を表す。この例では

これは、最初の数に、公差を 個足したものが、 番目の数になると考えると理解できる。

この式によって、 数列の何番目にどういう数字がくるか、すぐに計算できる。たとえば、 番目にくる数は、

とわかる。

等差数列の「和」 についても知っておこう。等差数列の初項から第 項までの和(つまり )は、

で計算できる。(和は基本的に を使う)

たとえば、上の数列の初項から第 項までの和を計算すると、まず一般項の式から

なので、

とわかる。

証明

足す順序を入れ替えると、

とも書ける。ここで、 を辺々足すと、

となる。

補足

  • 難しそうな漢字がたくさん出てくるが、 簡単な数の並びとイメージで考えるようにすると、一気に数列と仲良くなれる。
  • 和については、 から足さなくてもOK。その場合は 項数を使う。例えば第 項から第 項までの和は、項数の を使って、下の式で計算できる。

  • 漸化式で、 という形にピンときたら、それは等差数列を表している。

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# (初項+末項)×項数÷2
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