## 概要

$2,4,8,16,32,\cdots$ という数の並びをイメージしよう。$2$ずつ掛けられていることがわかる。

このように、 **次の数との比（つまり何倍か）が常に等しい数列を、「等比数列」** と呼ぶ。（数列とカッコよく書いているが、簡単に言うと数の並び）

また、次の数との比を**公比**と呼び、基本的に $r$ で表す。コーヒーではない。コーヒ。この例では $r=2$ 。

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数列の何番目にどういう数字がくるか、すぐにわかるようにしたものが、 **「一般項」** と言われるもので、第 $n$ 項目の数を $n$ を使って表現し、基本的に $a_n$ と書く。

等比数列の場合は、

$$a_n=a_1r^{n-1}$$

となる。（$a_1$ は初項と呼ばれ、つまり数列の最初の数を表す。この例では $a_1=2$）

これは、最初の数に、公比を $n-1$ 回掛けたものが、$n$ 番目の数になると考えると理解できる。

この式によって、 **数列の何番目にどういう数字がくるか、すぐに計算できる**のがおいしい。たとえば、$7$ 番目にくる数は、

$$a_n=2\cdot 2^{7-1}=128$$

とわかる。

**等比数列の「和」** についても知っておこう。等比数列の初項から第 $k$ 項までの和、つまり

$$a_1+a_2+\cdots +a_k$$

については、

$$
\begin{align}
S_k=
\begin{cases}
\dfrac{ a_1(1-r^k)}{1-r}&(r\neq 1)\\\\
ka_1&(r= 1)
\end{cases}
\end{align}
$$

で計算できる。（和は基本的に大文字 $S$ を使う）

$r= 1$ のときは、$1-r$ が $0$ になって割れないので**特別扱い**している。この場合は、比が $1$、つまり初項と同じ数が続くので、$ka_1$ で計算できる。

たとえば、上の数列の初項から第 $5$ 項までの和を計算すると、

$$S_5=\displaystyle{\frac{ 2(1-2^5)}{1-2}}=62$$

とわかる。

## 証明

$r\neq 1$ のときを示す。等比数列の一般項の式 $a_k=a_1r^{k-1}$ から、

$$
\begin{align}
S_k&=a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}+a_k\\\\
&=a_1+a_1r+\cdots+a_1r^{k-2}+a_1r^{k-1}\cdots(1)
\end{align}
$$

$(1)$ の両辺に $r$ をかけると、

$$
\begin{align}
rS_k&=a_1r+a_1r^2+\cdots+a_1r^{k-1}+a_1r^{k}\cdots(2)
\end{align}
$$

となる。ここで、$(1)$ から $(2)$ を引くと、間の項がどんどん打ち消されて、

$$
\begin{align}
(1-r)S_k&=a_1-a_1r^{k}\\\\
S_k&={\frac{ a_1(1-r^k)}{1-r}}
\end{align}
$$

となる。

### 補足

- 難しそうな漢字がたくさん出てくるが、 **簡単な数の並びとイメージで考える**ようにすると、一気に数列と仲良くなれる。
- 和については、$a_1$ から足さなくてもOK。その場合は**項数を使う**。例えば第 $2$ 項から第 $5$ 項までの和は、第 $2$ 項が $4$ なので、下の式で計算できる。

$$\displaystyle{\frac{ 4(1-2^4)}{1-2}}=60$$

- 和の公式については、 **「$1-$公比分の、初項かける$1-$公比の項数乗」** と念仏のように唱えて覚えよう。人に迷惑をかけない範囲で。
- **一般項の $n-1$ 乗と、和の $n$ 乗がごっちゃになりやすい**ので注意。
- 漸化式で、$a_{n+1}=ra_n$ という形にピンときたら、それは等差数列を表している。

等比数列

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