アプリ「okke」で効率よく学ぶ!

階差数列


概要

数列 の一般項は何になるだろうか?差を取ってみても同じじゃないし、比を取ってみても同じじゃない。困った。

ただ、項の差を計算すると、

と規則的になっていそう。そこで階差数列が登場する。

数列 に対して、 項の差を取っていったものも数列である。これを階差数列という。

階差数列を新しく とおくと、 数列 の一般項を、この階差数列を足していくことで求めることができる。

つまり、イメージは下の通り。

名称未設定 P1.png

注意しないといけないのは、この一般項の式は で定義される式なので、 の一般項しか求めていないということ( は別で求めて、まとめられそうならまとめて答える)。

なぜ で定義されるかというと、 に注目すると、 のとき「 から まで」という変なシグマ計算になってしまうため。

上の例で考えると、 のときの一般項 は、

と求められる( は、初項 、公差 、項数 の等差数列の和であると見て、シグマを計算した。詳しくはこちらの「シグマ」の辞書から確認)。

一方、 のときは、 であり、上の

を代入した値と等しくなる。

よってまとめることができて、

となる。

補足

上の例のように、シグマの中に書く、階差数列 の一般項(ここでは )は、 自分で推測して求めないといけないことが多い。

漸化式で、

という形にピンときたら、それは階差数列を使って一般項を計算できる。

タグ

# シグマ
# 等差数列
# 等比数列
# 階差数列
# 階差数列の漸化式
# 階差数列の規則性がない場合
# 階差数列の規則性を見つける