## 概要

いきなりデカい記号が出てきてとまどうランキング上位の「$\sum$（シグマ）」。

**「右側に書いてあるものを、下の文字から上の文字まで足し合わせる」** というイメージを大事にしよう（この書き順じゃないと怒る先生もいる）。

$$
\sum^n_{k=1} a_k=a_1+\cdots +a_n
$$

$a_k$ というところが、具体的な $k$ を含む式に変わっていくのだが、**$k$ の多項式だった場合は、下の公式を使ってシグマを外していく**ことが多い。

$$
\begin{align}
\sum^n_{k=1} k&=\frac{n(n+1)}{2}\\\\
\sum^n_{k=1} k^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\\\
\sum^n_{k=1} k^3&=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
\end{align}
$$

また、$a_k$ が **[等差数列](https://dic.okedou.app/words/p/NxOSY3nyPtopg)の一般項**となっていた場合には、上の公式も使えるが、**等差数列の和として一気に計算**するのが早い。（下の例の $2$ つ目）

さらに、$a_k$ の $k$ が指数に含まれていたりと、**[等比数列](https://dic.okedou.app/words/p/O5T1fTxFhgDJP)の一般項**となっていた場合には、**シグマは等比数列の和になるので、等比数列の和として一気に計算**する。（下の例の $3$ つ目）

## 例

【例1】
$$
\begin{align}
&\sum^n_{k=1} 2k(k+1)\\\\
=&\sum^n_{k=1} (2k^2+2k)\\\\
=&2\sum^n_{k=1} k^2+2\sum^n_{k=1} k\\\\
=&2\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\cdot\frac{n(n+1)}{2}\\\\
=&\frac{2n^3+6n^2+4n}{3}
\end{align}
$$

$n$ に $1$ を入れると、左辺は $4$ で右辺も $4$ になるので、チェックできる。

【例2】
$$
\sum^n_{k=1} (3k-2)
$$

については、どうやって計算するか。分解してシグマの公式で解いてもいいが、このシグマの中身が、初項 $1$、公差 $3$ の等差数列の一般項だとわかると、**[等差数列の和](https://dic.okedou.app/words/p/NxOSY3nyPtopg)として一気に計算**できる。なんでわかるねん！という方は、**シグマを書き下してみる**とわかる。

$$
\begin{align}
\sum^n_{k=1} (3k-2)=&1+4+7+\cdots+(3n-2)\\\\
=&\frac{1}{2}n(1+(3n-2))\\\\
=&\frac{3n^2-n}{2}
\end{align}
$$

【例3】
$$
\sum^n_{k=1} 2^k
$$

については、どうやって計算するか。多項式ではないので、シグマの公式が使えない！でも、このシグマの中身が、初項 $2$、公比 $2$ の等比数列の一般項だとわかると、**[等比数列の和](https://dic.okedou.app/words/p/O5T1fTxFhgDJP)として一気に計算**できる。なんでわかるねん！という方は、**シグマを書き下してみる**とわかる。

$$
\begin{align}
\sum^n_{k=1} 2^k=&2+4+8+\cdots+2^n\\\\
=&\frac{2(1-2^n)}{1-2}\\\\
=&2^{n+1}-2
\end{align}
$$

## 証明

なんでこんな形になるの？ということを**視覚的にイメージで理解したい方**は、2乗の式は[はやくち解説さん](https://okedou.app/videos/9HKQE7Rj_Lk)、[式変形チャンネルさん](https://okedou.app/videos/GxFb-0fVxSU)、3乗の式は[数学ボーイズさん](https://okedou.app/videos/r4TPefpvML4)（2乗も）、の動画を参照。

下の式による証明を動画で学びたい方は、例えば[古賀真輝さんの動画](https://okedou.app/videos/bipXdaew_qo)を参照。

$\displaystyle\sum^n_{k=1} k$ は等差数列 $1,2,3,4,\cdots$ なので、初項 $1$、公差 $1$ の等差数列の和として計算できる。

$\displaystyle\sum^n_{k=1} k^2$ の式を示す。

$$
\begin{align}
(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1
\end{align}
$$

の両辺を、$k=1$ 〜 $n$ まで足し合わせると、左辺は途中の項が打ち消しあってスッキリした形になり、

$$
\begin{align}
(n+1)^3-1^3=3\sum^n_{k=1} k^2+3\sum^n_{k=1} k+n
\end{align}
$$

となる。

$$\displaystyle\sum^n_{k=1} k=\frac{n(n+1)}{2}$$

を用いて、これを変形していくと、

$$
\begin{align}
3\sum^n_{k=1} k^2&=(n+1)^3-1^3-3\sum^n_{k=1} k-n\\\\
&=(n+1)^3-1^3-3\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n\\\\
&=(n+1)^3-3\cdot \frac{n(n+1)}{2}-(n+1)\\\\
&=\frac{1}{2}(n+1)\left(2(n+1)^2- 3n-2\right)\\\\
&=\frac{1}{2}(n+1)(2n^2+n)\\\\
&=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)\\\\
\end{align}
$$

よって、両辺 $3$ で割って、

$$
\sum^n_{k=1} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$

が成り立つ。

$\displaystyle\sum^n_{k=1} k^3$ の式については、

$$
\begin{align}
(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1
\end{align}
$$

の式を使って、上と同様にして示せる。

### 補足

- シグマの計算公式の証明は、2010年の九州大学などで出題されている。
- 実際に答案に書くときは、上の公式を頭において、 **数学的帰納法**で示す方がずっとラク！

シグマ

概要

例

証明

補足

タグ