シグマ

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概要

いきなりデカい記号が出てきてとまどうランキング上位の「$\;\sum\;$(シグマ)」。

「右側に書いてあるものを、下の文字から上の文字まで足し合わせる」 というイメージを大事にしよう(この書き順じゃないと怒る先生もいる)。

$$
\sum^n_{k=1} a_k=a_1+\cdots +a_n
$$

$\;a_k\;$というところが、具体的な$\;k\;$を含む式に変わっていくのだが、その時に公式を使ってシグマを外していくことが多い。

代表的な公式は以下の通り。

$$
\begin{align}
\sum^n_{k=1} k&=\frac{n(n+1)}{2}\\
\sum^n_{k=1} k^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\
\sum^n_{k=1} k^3&=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\\
\end{align}
$$

実際にシグマを、「右側に書いてあるものを、下の文字から上の文字まで足し合わせた」形に書き下してみて、等差数列等比数列が見えてきたときは、等差数列の和や等比数列の和として計算する。

$$
\begin{align}
\sum^n_{k=1} 2k(k+1)&=\sum^n_{k=1} (2k^2+2k)\\
&=2\sum^n_{k=1} k^2+2\sum^n_{k=1} k\\
&=2\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\cdot\frac{n(n+1)}{2}\\
&=\frac{2n^3+6n^2+4n}{3}
\end{align}
$$

$\;n\;$に$\;1\;$を入れると、左辺は$\;4\;$で右辺も$\;4\;$になるので、チェックできる。

証明

$\;\displaystyle\sum^n_{k=1} k\;$は等差数列$\;1,2,3,4,\cdots\;$なので、初項$\;1\;$、公差$\;1\;$の等差数列の和として計算できる。

$\;\displaystyle\sum^n_{k=1} k^2\;$の式を示す。

$$
\begin{align}
(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1
\end{align}
$$

の両辺を、$\;k=1\;$〜$\;n\;$まで足し合わせると、左辺は途中の項が打ち消しあってスッキリした形になり、

$$
\begin{align}
(n+1)^3-1^3=3\sum^n_{k=1} k^2+3\sum^n_{k=1} k+n
\end{align}
$$

となる。

$$\;\displaystyle\sum^n_{k=1} k=\frac{n(n+1)}{2}\;$$

を用いて、これを変形していくと、

$$
\begin{align}
3\sum^n_{k=1} k^2&=(n+1)^3-1^3-3\sum^n_{k=1} k-n\\
&=(n+1)^3-1^3-3\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n\\
&=(n+1)^3-3\cdot \frac{n(n+1)}{2}-(n+1)\\
&=\frac{1}{2}(n+1)\left(2(n+1)^2- 3n-2\right)\\
&=\frac{1}{2}(n+1)(2n^2+n)\\
&=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)\\
\end{align}
$$

よって、両辺3で割って、

$$
\sum^n_{k=1} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$

が成り立つ。

$\;\displaystyle\sum^n_{k=1} k^3\;$の式については、

$$
\begin{align}
(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1
\end{align}
$$

の式を使って、上と同様にして示せる。

補足

  • シグマの計算公式の証明は、2010年の九州大学などで出題されている。
  • 実際に答案に書くときは、上の公式を頭において、数学的帰納法で示す方がずっとラク!