チェバの定理
概要
下の三角形
どの点から始めてもいいので、三角形の頂点と辺上の点を交互に通りながら、一筆書きして元の点に戻ってくるイメージを持とう。
証明
線分の比を三角形の面積比に置き換えて証明していく。
まずは、
上の図の通り、
が成り立つ。さらに、
となる。よって、
が成り立つ。同様にして、
が成り立つので、チェバの定理の左辺は、
となって示される。
例
【問】下の図において、
【答】チェバの定理から、
が成り立ち、これを解くと
と求められる。
補足
- 覚え方は、 三角形の一つの頂点からの一筆書きで覚えるのが王道(内部の点
以外は全て通る) - 三角形とある
点について考える時に使えることが多い - メネラウスの定理と間違えやすいが、メネラウスは三角形と一本の直線について使う
- ちなみに、メネラウスは
世紀の人で、チェバさんは 世紀の人。チェバさんがメネラウスの定理も再発見して、公表した - 点
は、三角形の内部にあっても外部にあってもよい - 使い方については、ヨビノリさんの「チェバの定理とメネラウスの定理の本質」の動画も見てみよう!
- 逆も成り立つ。つまり、任意の三角形
において、辺 、 、 にそれぞれ 、 、 があり、以下の式が成り立つのならば 直線 ・ ・ は 点で交わる
タグ
# チェバの定理
# チェバの定理の逆
# メネラウスの定理
# 三角形の面積比
# 底辺が等しければ高さの比