## 概要

自然対数の底などでよく登場するネイピア数（$e$）の定義は以下の通り。

$$
\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e
$$

イメージとしては、 **$1$ に限りなく近づいていく、$1$ よりちょびっと大きい数を、無限大乗**すると、$2.71828...$ という定数に近づいていき、その値をネイピア数（$e$）と定義している。

また、$1$ に足す数（上では $\displaystyle\frac{1}{n}$）と指数（上では $n$）が**逆数になっている**ことがとても大事で、この形に持っていけば、上の定義が使える。

背景からじっくり学んだり、他の性質との繋がりが知りたい方は、[鈴木貫太郎さんの動画](https://okedou.app/videos/qFo8d2ItrE8)がオススメ。

## 例

$\displaystyle\lim_{n\to \infty }\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^{2n}$を計算する。

$$
\begin{align}
&\displaystyle\lim_{n\to \infty }\left(1-{\frac{1}{n}}\right)^{2n}\\\\
=&\displaystyle\lim_{n\to \infty }\left(\frac{n-1}{n}\right)^{2n}\\\\
=&\displaystyle\lim_{n\to \infty }\frac{1}{\left(\frac{n}{n-1}\right)^{2n}}\\\\
=&\displaystyle\lim_{n\to \infty }\frac{1}{\left(\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\right)^{\frac{2n}{n-1}}}\\\\
=&\frac{1}{e^2}
\end{align}
$$

最後は、$n\to \infty$ において、

$$\displaystyle\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\to e $$

$$\displaystyle\frac{2n}{n-1}=\frac{2}{1-\frac{1}{n}}\to 2$$

となることを用いた。

### 補足

ネイピア数（$e$）の定義は様々あるが、ここでは上の定義を用いた。**上の定義を派生させていくことで、極限に関する以下の性質も示すことができる**ので、挑戦してみよう。難しい問題になると、式変形の途中で、これらの形にバッタリ出くわすことも良くある。

$$
\begin{align} 
&\lim _{{n\to -\infty }}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e\\\\
&\lim _{{t\to 0}}\left(1+t\right)^{{\frac {1}{t}}}=e\\\\
&\lim _{{t\to 0}}\frac {\log(1+t)}{t}=1\\\\
&\lim _{{t\to 0}}\frac {e^t-1}{t}=1
\end{align} 
$$

証明のヒントは、
- $1$ つ目は、$n=-m$ などと置換。
- $2$ つ目は、$t=\displaystyle\frac{1}{n}$ などと置換。
- $3$ つ目は、$2$ つ目の中身の $\log$ をとる。
- $4$ つ目は、$t=\log(1+u)$ などと置換すれば、$3$ つ目の形が使える。

また、$n$ ではなくて $x$、つまり**関数の極限**として考えても同じ結論になる。

上の各性質の詳しい証明を知りたい方は、例えば、[ぶおとこばってんの動画](https://okedou.app/videos/seyz4nNJaX0)を参照しよう。


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