## 概要

ある対数 $\log_{a}b$ に対して、自分で**好きな底 $c$** を取ってきて、底 $c$ を使って下の通り対数を書き換えることを、 **底の変換公式**という。 

$$
\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}
$$

## 例

$$
\begin{align}
\log_{4}8&=\frac{\log_{2}4}{\log_{2}8}\\\\
&=\frac{\log_{2}2^2}{\log_{2}2^3}\\\\
&=\frac{2}{3}
\end{align}
$$

上の例は底を $2$ で揃えてみた。下は、$p,q,r$ が $1$ でない正の数として求めてみよう。

$$
\begin{align}
&\log_{p}q\cdot\log_{q}r\cdot\log_{r}p\\\\
=&\frac{\log_{p}q}{\log_{p}p}\cdot\frac{\log_{p}r}{\log_{p}q}\cdot\frac{\log_{p}p}{\log_{p}r}\\\\
=&1
\end{align}
$$

と底を $p$ に揃えてみると、スッキリ求まる（$q$ や $r$ を底として整理しても同様にスッキリする）。

## 証明

対数の計算公式

$$
\begin{align}
\log_{a}M+\log_{a}N &= \log_{a}MN \\\\
\log_{a}M-\log_{a}N &= \log_{a}{\frac{M}{N}} \\\\
\log_{a}M^{r} &= r\log_{a}M
\end{align}
$$

のうち、3つ目を使って示す。

いま、 **対数の定義「$a\neq 1$、$a>0$ として $a^x=b$ を満たす実数 $x$ が $\log_ab$」** より、

$$
a^{\log_a b}=b
$$

が成り立つ（$a\neq 1$、$a>0$）。この両辺の、底を $c$ とする対数をとると、

$$
\begin{align} 
\log_c a^{\log_a b}&=\log_c b \\\\
{\log_a b}\times \log_c a &=\log_c b
\end{align} 
$$

$a\neq 1$ より $\log_c a\neq 0$ なので、両辺を $\log_c a$ で割って、

$$
\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}
$$

となる。

### 補足

$c$ は $100$ でも $0.0001$ でも自由に取れるが、 **底の条件**として $c\neq 1$、$c>0$ を満たさないといけないことに注意。

底の変換公式

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例

証明

補足

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