円と直線の共有点

概要

円と直線の共有点の個数（何点で交わるか？）については、色々な調べ方があるが、一番考えやすいのは、 円の中心から直線までの距離と、円の半径を比較する方法。

下の絵のように、円の中心から直線までの距離（緑）が円の半径（赤）より長ければ交わらない、同じなら接する、短ければ異なる 点で交わる、とすぐにわかる。

では実際に、 円の中心から直線までの距離ってどうやって求めるのか？ どうやって比較するか？については、下の例で確認しよう。点と直線の距離の考え方がしれっと活躍する。

円と直線の式から一文字を消去して、 や の二次方程式を考えて、その判別式を使って共有点の個数を考えることもできるが、これには一つ落とし穴があるので、知りたくてたまらない人は、下の補足も確認しよう。

例

【問】円 と直線 が異なる 点で交わるための実数 の条件を求めよ。

【答】円 の中心 から直線 までの距離は、

と求められる（この式にピンと来なければ、こちらの「点と直線の距離」の辞書を参照）。円 の半径は なので、求める の条件は

と求められる。

補足

具体的に交点の座標は、円と直線の式から一文字を消去して、 や の二次方程式を考える。この二次方程式の判別式を使って共有点の個数を考えることもできる。例えば上の例だと、円と直線の式を連立して を消去して、 の二次方程式を考えると、

この二次不等式を解くと、上と同じ条件が求められる。

ただしこのやり方には、一つ欠点があって、この二次方程式の解の個数と、円と直線の共有点の個数が一致しないケースがある。例えば円と直線の式を連立して の二次方程式を考えると、その解は円と直線の共有点の 座標を表すのだが、 つの異なる共有点が同じ 座標を持つ下のような場合 には、「円と直線の共有点の個数は 個」だが、「 の二次方程式の解の個数は 個（重解）」となってしまう。

こういうケース（直線が軸と垂直となるケース）を頭の世界の片隅に置いて注意しておけばOK。滅多に出てこないけどね。