## 概要

集合 $A,B$ に対して、以下の関係が成り立つことを、 **ド・モルガンの法則**という。ド・モルガンさんという人の名前なので、きちんと中点も打ってあげよう。

$$
\begin{align} 
\overline{A\cap B}&=\overline{A}\cup \overline{B}\\\\
\overline{A\cup B}&=\overline{A}\cap \overline{B}
\end{align} 
$$

集合の上についているバーは**補集合**を意味し、全体の集合の要素のうち、その集合に属さないものの集合のこと。

また、記号に慣れてない方は、$\cap$ を **「かつ」** 、$\cup$ を **「または」** と読み替えて考えてみよう。

この法則は、条件についても成り立つ優れもの。つまり、条件 $p, \ q$ について、以下が成り立つ。

$$
\begin{align} 
\overline{p \ \text{かつ} \ q}&=\overline{p} \ \text{または} \ \overline{q}\\\\
\overline{p \ \text{または} \ q}&=\overline{p} \ \text{かつ} \ \overline{q}
\end{align} 
$$

$\overline{p}, \ \overline{q}$ はそれぞれ条件 $p, \ q$ の[否定](https://dic.okedou.app/words/p/WT9kmoRNU20fu)。

### 補足

このド・モルガンの法則は、集合の**要素の個数**を調べるときにも使えるし、**事象の確率**を計算するときにも使える便利なもの。

つまり、集合の要素の個数については、
$$
\begin{align} 
N\left(\overline{A\cap B}\right)&=N\left(\overline{A}\cup \overline{B}\right)\\\\
N\left(\overline{A\cup B}\right)&=N\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)
\end{align} 
$$

事象の確率については、
$$
\begin{align} 
P\left(\overline{A\cap B}\right)&=P\left(\overline{A}\cup \overline{B}\right)\\\\
P\left(\overline{A\cup B}\right)&=P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)
\end{align} 
$$

が成立する。

なお、 **ベン図**で考えると、この法則の両辺の集合が同じものを指していることが確認できるので、忘れたら頭にベン図を描こう。

ド・モルガンの法則

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