## 概要
等加速度直線運動とは、名前の通り、**等しい加速度で直線的に動く運動**のこと。漢字8文字であるため、シャープペンの芯の減りが早いことでも有名。

初速度 $v_0$ ,加速度 $a$=(一定) で直線運動をしている物体の時刻 $t$ における速度 $v$, 変位 $x$ は、次のように表せる。

$$\begin{align}
v&=v_0+at\\\\
x&=v_0t+\frac{1}{2}at^2
\end{align}$$

なお変位とは、**位置の変化分**のこと。

さらにこれらの式から $t$ を消去すると
$$v^2-v_0^2=2ax$$
となり、**$a$, $v$, $x$ のみ**の関係が得られる。

これらの関係式は、高校物理でよく出てくる等加速度直線運動を考える上で必須なので、確実に身につけておこう。暗記してしまおうとする人も多いが、以下で説明するように**式の意味もしっかり理解しておきたい**。

## 導出
加速度が $a$ で一定であるとき、時間 $t$ の間に速度は $at$ だけ変化する。つまり
$$\begin{align}
v-v_0&=at\\\\
\therefore v&=v_0+at
\end{align}$$
と表せることになる。

次に、変位は $v$-$t$ グラフの面積で求められるので、下のグラフより
$$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$
と求めることができる。
![b6ffd76c02b547a58f9a21a419850a2e.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/9NalxQGccdr4c/d23b5878f26a42d997421480ea677c06.png)

あとは $v=v_0+at$ を $t$ について解いて $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ に代入することで
$$v^2-v_0^2=2ax$$
が導かれる。

## 例
【問】速さ $2.0 \ \mathrm{m/s}$ で右向きに進んでいた物体が一定の加速度で速さを増し、$4.0$秒後に右向きに速さ $4.0 \ \mathrm{m/s}$ となった。このとき
(1)加速度の大きさ
(2)加速している間に進んだ距離
を求めよ。

【答】
(1) $v=v_0+at$ より $t=\frac{v-v_0}{a}$ ゆえ
$$\frac{4.0-2.0}{4.0}
=0.50\space\mathrm{m/s^2}$$

(2)
[解1]
$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ より
$$2.0\times4.0+\frac{1}{2}\times0.50\times4.0^2=12\space\mathrm{m}$$

[解2]
$v^2-v_0^2=2ax$ より $x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$ ゆえ
$$\frac{4.0^2-2.0^2}{2\times0.50}=12\space\mathrm{m}$$

(2)のように時刻 $t$ を使わなくても求められる場合は$v^2-v_0^2=2ax$ の式を用いた方が計算が楽な場合が多いのでこっちもぜひ使えるようにしておこう。

### 補足
実は上の関係式は、積分を用いると非常に簡単に導くことができる。
速度の変化量は $a$-$t$ グラフの面積から求まるので
$$\begin{align}
v-v_0&=\int_0^ta\space dt=at\\\\
\therefore v&=v_0+at
\end{align}$$
変位 $x$ は $v$-$t$グラフの面積から求まるので
$$\begin{align}
x&=\int_0^t v\space dt\\\\
&=\int_0^t (v_0+at)\space dt\\\\
&=\left[v_0t+\frac{1}{2}at^2\right]_0^t\\\\
&=v_0t+\frac{1}{2}at^2
\end{align}$$

このように、簡単な微積分ができれば**これらの関係式は全く覚える必要がない**ということが分かるはずだ。物理は微積分を頻繁に用いる学問なので、数学で微積分を習ったらどんどん物理に応用していって欲しい。

等加速度直線運動

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