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単位ベクトル


概要

単位ベクトルとは、 大きさが (つまり長さが ) のベクトルのこと。

零ベクトルでは無い、とあるベクトル が与えられた時に、そのベクトルの大きさで割ると、 同じ方向を向いた単位ベクトルが求められる、というのは、知っておくと結構便利なことがある。式で書くとこんな感じ。

大事なのは

  • 分母は、単なる値であること
  • を、 以上の値で割っている、つまり、ベクトルを伸縮させているだけ(なので、同じ方向を向く)
  • 自分自身の長さで割るので、必ず大きさが になる。(例えば大きさ のベクトルを で割ったら、大きさが のベクトルが出てくる)

というのをイメージで理解しておくこと。

絵で書くとこんな感じ。

Untitled P1 121.png

と同じ向きの単位ベクトルを求める。ベクトルの大きさは

なので、単位ベクトルは、

と求められる。

補足

やや発展的ではあるが、 正射影ベクトルを考える時にも大事になる、縁の下の力持ち的な概念。

また、 あるベクトルを 軸成分と 軸成分に分解するような使い方もする(もちろん空間でもOKだが、ここでは平面で話を進める)。つまり、 軸正の方向の単位ベクトルを 軸正の方向の単位ベクトルを とおくと、あるベクトル は、

として、 成分と単位ベクトルを使って表現することができる。これは、ベクトルの足し算を考えたら納得できると思う。

Untitled P1 122.png

※成分が正のときで書いているが、負でも同様。

もしくは、成分で計算しても理解できると思う。つまり、 なので、

こういう分解は、なかなか高校数学では登場してこないが、大学数学になると、鬼のように登場する。

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Lv. 3
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