## 概要

$\cos$ の **[2倍角の公式](https://dic.okedou.app/words/2%E5%80%8D%E8%A7%92%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F)を変形**することで、半角の公式

$$
\begin{align} 
\sin^2{\frac{\theta }{2}}&=\frac{1-\cos \theta }{2} \\\\
\cos^2{\frac{\theta }{2}}&=\frac{1+\cos \theta }{2}
\end{align} 
$$

を得ることができる。**作れればOKな公式**。

## 証明

$\cos$ の[2倍角の公式](https://dic.okedou.app/words/2%E5%80%8D%E8%A7%92%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F)

$$
\begin{align}
\cos 2\theta &=1-2\sin ^{2}\theta
\end{align}
$$

の $\theta$ を $\displaystyle\frac{\theta}{2}$ に変えて、変形すると、

$$
\begin{align} 
\cos \theta &=1-2\sin ^{2}\frac{\theta}{2}\\\\
\sin^2{\frac{\theta }{2}} &=\frac{1-\cos \theta }{2}
\end{align} 
$$

を得る。同様に $\cos$ の2倍角の公式

$$
\begin{align}
\cos 2\theta &=2\cos ^{2}\theta -1\\\\
\end{align}
$$

の $\theta$ を $\displaystyle\frac{\theta}{2}$ に変えて、変形すると、

$$
\begin{align} 
\cos \theta &=2\cos ^{2}\frac{\theta}{2} -1\\\\
\cos^2{\frac{\theta }{2}} &=\frac{1+\cos \theta }{2}
\end{align} 
$$
を得る。

### 補足

角度を半分にするということ（右辺→左辺）で「半角の公式」と読んでいるが、実際は（左辺→右辺）で使って、

$$
\begin{align} 
\sin^2 \theta&=\frac{1-\cos 2\theta }{2} \\\\
\cos^2 \theta&=\frac{1+\cos 2\theta }{2}
\end{align} 
$$

というように、角度は2倍になるが、 **「次数を下げられる式」**（ここでは2次式→1次式）として使うことも多い（特に数学IIIの積分などで活躍する）。

半角の公式

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