## 概要

基本的なものは頭に入れて、応用させていくに尽きる。

右辺の三角関数を微分すると左辺になることから、これらの積分公式が成り立つことがわかる。

$$
\begin{align}
\int \sin x dx&=-\cos x+C\\\\
\int \cos x dx&=\sin x+C\\\\
\int \frac{1}{\cos^2 x} dx&=\tan x+C
\end{align}
$$

三角関数を積分するときは、とにかく **「次数を下げる」「積から和に持っていく」** ことが大事になることが多い。その時には、[半角の公式](https://dic.okedou.app/words/%E5%8D%8A%E8%A7%92%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F)や[積和公式](https://dic.okedou.app/words/%E7%A9%8D%E5%92%8C%E5%85%AC%E5%BC%8F)が役に立つ。

## 例

$$
\begin{align}
\int \sin^2 2xdx&=\int \frac{1-\cos 4x}{2}dx\\\\
&=\frac{1}{2}\int (1-\cos 4x)dx\\\\
&=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{4}\sin 4x +C\right)\\\\
&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin 4x+C'
\end{align}
$$

$C,C'$ は積分定数。微分して元に戻るかを常に気にしながら計算するのが大事。

### 補足

積分の中身に、合成関数の微分の形が潜んでいることに気づくと、早く解けることもある。例えば、

$$
\begin{align}
\int \sin^2 x\cos xdx&=\frac{1}{3}\sin^3 x+C
\end{align}
$$

など。詳しくは、[「合成関数の積分」の辞書](https://dic.okedou.app/words/%E5%90%88%E6%88%90%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86)を確認しよう。

また、下の積分計算も公式として押さえておこう。たまに出てくる。

$$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx=-\frac{1}{\tan x}+C$$

微分して確かめてみよう！

三角関数の積分

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