正弦定理
概要
三角形の辺の長さが
が成り立つ。これを正弦定理という。正弦定理・余弦定理・接弦定理の弦三兄弟の長男(非公式)。図のイメージは以下の通り。
証明の概要
直角三角形・鋭角三角形・鈍角三角形に分けて証明する。ここでは概要のみさらっと紹介するので、証明の詳細は例えば古賀さんの正弦定理の証明動画や、Mathkaratさんの証明動画などで確認しよう。
- 直角三角形のとき、
の定義から示せる - 鋭角三角形のとき、円周角の定理を使いつつ、直角の円周角を作りにいく
- 鈍角三角形のとき、三角形の外接円上に
点を取り、鈍角の内対角を作ると、鋭角三角形が新たにできて、上で示したことと下の関係式で示せる
例
公式の使い方が大事で、使う場面としては
- 対応する
組の辺と角(例: と )と、他の辺か角が つわかっているとき(例: や )に、その対応する角か辺(例: や )を求めることができる - 対応する
組の辺と角(例: と )から外接円の半径 を求めることができる
下の例で確認しよう。
【例】下の三角形で、辺
【答】まずは
と求められる。外接円の半径
と求められる。
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