奇関数の積分
概要
が成り立つとき、
が成り立つ。積分区間が
積分区間を
例
【問1】(数学III)
の値を求めよ。
【答】真面目に部分積分しても解けるが、積分の中身の関数が奇関数であることに気付くと一瞬で
とおくと、
となるので、
が成り立つので、
このことから、
【問2】
の値を求めよ。
【答】真面目に全ての項を積分しても解けるが、積分の中身の項が、ところどころ奇関数になっていることに気付くと、少しラクができる。さらに、残りの関数も偶関数になっていることに気づけば、さらに幸せ。つまり、
が成り立ち、さらに、残りの項の
となることを利用すると、
と計算できる(ここでは丁寧に変形していったが、慣れていくと、
計算量が減るし、ミスも減る!
補足
多項式や、三角関数がからむ積分では、このワザを頭に入れておくとお得な場面が多々ある。特に、奇数乗しか登場しない多項式は奇関数だと見抜けるようになろう。
係数が奇数・偶数かどうかとは、全く関係がない概念なので、要注意。
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