レンズの公式

概要

中学校でもおなじみのレンズは、高校物理でもしぶとく登場する。いろんなケースが登場するものの、証明や使い方はワンパターンなので、公式の証明と使い方をおさえておこう。

結論としては、凸レンズであっても凹レンズであっても、実像であっても虚像であっても、次の式が成り立つ。これをレンズの公式とか写像公式とか呼ぶ。

ただし、

• は物体とレンズとの距離（常にプラス）
• は像とレンズの距離 （実像はプラス、虚像はマイナス）
• はレンズによって決まる焦点距離 （凸レンズはプラス、凹レンズはマイナス）

である。さらに、物体に対する像の大きさの比を倍率とよび、

で求めることができる。

以下代表的なケースで証明しよう。用語として、レンズから見て光源のある側を 「レンズの前方」 、その反対側を 「レンズの後方」 という。

凸レンズによる実像

中学でも学んだ通り、凸レンズを通る光の性質として、

• 光軸に平行な光は後方の焦点を通る
• レンズの中心を通る光は直進する
• 焦点から出る光は光軸に平行に進む

というものがあり、レンズに対して、物体が焦点よりも遠くにある場合、レンズの反対側のある位置にスクリーンを置くと、倒立した実像が映る。

このとき、 と は相似であり、倍率は

である。さらに と は相似であり、

が成り立つ。ここで であるから、

が導かれる。（最後の変形は、両辺を で割った）

凸レンズによる虚像

もしレンズに対して、物体が焦点よりも近くにある場合、レンズを通った光はレンズの後方で交わらない。このとき、実はレンズの後方からレンズを通して眺めると、物体の後方に物体と同じ向き（正立）の像が見える。

これは実際に光がそこに集まっているわけではなく、あたかもそこから光が発せられているように見えるだけであり、これを虚像という。

虫メガネを通じて物体が拡大するのは、実はこの虚像の性質を利用している。なので物体に虫メガネを近づけないと拡大されないのである。

これも実像のときと同様で、2つの相似を使えば倍率やレンズの公式を示すことができる。

まず、 と は相似であり、倍率は

である。さらに と は相似であり、

が成り立つ。ここで であるから、

が導かれる。（最後の変形は、両辺を で割った）

このままだと、上の実像の公式と違う式になってしまうが、何とかして揃えることはできるだろうか。（その方が覚える量が減る）

そこで、レンズに対して物体と同じ方に像があるということで、 はレンズに対する像の「位置」を表し、虚像の場合はその値がマイナスだと思うことにし、 として

とおくと、上の倍率は

となり、レンズの公式は、

となるので、実像のときと同じ式で統一的に表すことができてハッピーになる。

凹レンズによる虚像

凹レンズを通る光の性質として、

• 光軸に平行な光は前方の焦点から出たように通る
• レンズの中心を通る光は直進する
• 焦点へ向かう光はレンズ通過後に光軸に平行に進む

というものがあり、レンズの後方からレンズを通して眺めると、物体の後方に物体と同じ向き（正立）の像が見える。（光の進み方から、レンズの前方の焦点よりも内側に像が見える）

これは実際に光がそこに集まっているわけではなく、あたかもそこから光が発せられているように見えるだけであり、虚像である。

このとき、 と は相似であり、倍率は

である。さらに と は相似であり、

が成り立つ。ここで であるから、

が導かれる。（最後の変形は、両辺を で割った）

このままだと、一番上の実像の公式と違う式になってしまうが、これも何とかして揃えることはできるだろうか。

凸レンズの虚像の場合と同様に、凹レンズの場合も虚像なので、 として

とおくと、上の倍率は

となる。さらに、凹レンズの場合は、 がマイナスだと思うことにすると、レンズの公式は、

となるので、これも同じ式で統一的に表すことができて嬉しい。

補足

レンズって厚みがあるのに、なんで1回しか折れ曲がってない（屈折していない）のか？と疑問に思うかもしれない。本当はレンズに入射するときと、そこから外に出て行くときで、2回屈折が起こる。

ただ基本的には十分にレンズが薄いとして、略して1回しか屈折を書かないことが多い。