三項間漸化式
概要
漸化式のラスボス。これをスラスラ解けるようになると、心が晴れやかになる。
の形はノーヒントで解けるようにしておく必要がある。
この漸化式は、
の解(
と書き換えられる。ここから等比数列の一般項を用いて、数列
ちょっと何を言っているかわからない人は、下の例で確認しよう。
例
漸化式
を解く。そのためにまずは
を解くと、
と変形できる。
となる。
また、
となる。
と一般項
証明
なぜいきなりこのような方程式
が出てきたのかについて考える。
与えられた三項間漸化式を、 ある文字
という等比数列の漸化式の形に変形して、解ける形にしたいなあ、というのが出発点。これを変形すると、
となるので、これが、元の漸化式と等しくなるためには、
となるような
解と係数の関係より、
という方程式の解になる(これが突如現れた二次方程式の正体!)。
なので、この方程式を解けば、解の
文章じゃよくわからん!とプンスカしている方は、例えばぶおとこばってんの動画を見てみよう。
方程式が重解を持つ場合
上の二次方程式が重解を持つ場合は、解が1種類しか出てこないので、漸化式を1種類にしか変形しかできないことになる。ただその場合でも、頑張って解くことはできる。
例えば、漸化式
を解いてみる。このとき特性方程式
を解くと、
と変形できる。よって、数列
となる。
次のステージとして、この漸化式を直接解いて、数列
上の漸化式の両辺
となるので、
とおけば、
を得る。
これはつまり数列
と求められる。よって、求める数列
となる。
補足
漸化式を解く際は、自分で
二項間漸化式のときと同様、方程式
は、特性方程式とも呼ばれる。