共面条件

概要

点 が平面 上にあるための必要十分条件をベクトルを使って表すと、

を満たす実数 が存在すること。空間ベクトルの分野で、 点が同一平面上に乗っている条件として、よく登場する。

平面上のベクトルは、必ずしも と で考える必要はなく、 と などでも成り立つので、計算しやすいように、平面上にある つのベクトルを決めると良い。

例

という 点によってできる平面上に、点 があるような を求める。

共面条件より、実数 を使って、次のように表せる。（ちなみに、ベクトルの成分を縦に書くと、計算間違いが減る上に、数学が得意な人に見えてカッコいい）

よって、 を解くと 、、 から と求まる。

補足

同一平面上にあると聞くと、この形の条件ではなく、 「係数の和が 」 という方を考える人も多いと思うが、 この つは実は同じことをやっているので、どっちかを使えばOK。

「点 が平面 上にある」

「 となる実数 が存在」

「 となる実数 が存在」

「 となる実数 が存在」（これは上の共面条件）

また細かくなるが、この共面条件を使うためには、取ってくる2つのベクトル（この場合は と ）は、 「一次独立」 である必要がある。

「一次独立」とは、 つのベクトルの場合でいうと、それそれが零ベクトルでなく、かつ平行でもない、つまり三角形が つに決まるという関係性のこと。より知りたい方はこちらの「一次独立」の辞書を参照。