## 概要

二項の和の $n$ 乗を下の通り展開できることを、二項定理や二項公式という。

$$
\begin{align} 
(x+y)^{n}=&{}_n \mathrm{C}_0x^{n}y^{0}+{}_n \mathrm{C}_1x^{n-1}y^{1}\\\\
&+\cdots+{}_n \mathrm{C} _{n-1}x^{1}y^{n-1} +{}_n \mathrm{C}_nx^{0}y^{n}
\end{align} 
$$

また、

$${}_n \mathrm{C}_0={}_n \mathrm{C}_n=1$$

$$x^0=y^0=1$$

なので、二項定理の式の右辺の第1項を簡単に書くと $x^n$、最後の項を簡単に書くと $y^n$ と、計算できるものを計算すると、こんな感じになる。

$$
(x+y)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y+\cdots+nxy^{n-1} +y^{n}
$$

この式が成り立つ理由としては、まず **$(x+y)$ が $n$ 回掛けられている**と考えて、それぞれの $(x+y)$ のうち、**$x$ か $y$ を選んで掛けていく**と考える。

このとき、例えば $x^{n-3}y^3$ の項が何回登場するかを考えると、**$n$ 回中 $3$ 回 $y$ を取ってくる「場合の数」と等しくなる**ので、${}_n \mathrm{C}_3$ というのが $x^{n-3}y^3$ の係数となる。

![Untitled 1 P1 23.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/bs7e5tko2OOxb/91761540733745acae9a880baf5e6517.png)

これが、組み合わせの $\mathrm{C}$ が項の係数に登場する理由。

## 例

【問】$(2x^2+1)^{20}$ を展開したとき、$x^4$ の係数は何か。

【答】二項定理より、$x^4$ の項は、

$${}_{20} \mathrm{C}_2 \cdot(2x)^2\cdot 1^{18}$$

であるので、計算すると、

$$\frac{20\cdot 19}{2\cdot 1}\cdot4x^2=760x^2$$

であるから、係数は $\underline{760}$ となる。

![Untitled 1 P1 25.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/bs7e5tko2OOxb/994cda013ad4418489fa1444130538c5.png)

### 補足

- 初めて見たときにギョッとする定理ランキング上位
- 上の通り**式を作れれば、覚える必要はない**
- この ${}_n \mathrm{C}_k$ は**二項係数**と呼ぶ。色々と面白い性質があるので、[「Cの性質」という辞書](https://dic.okedou.app/words/p/APHbIDwleUJ4H)を確認してみよう
- 二項係数については、パスカルの三角形も有名。（例えば、[「とある男が授業をしてみた」のはいち先生の動画](https://okedou.app/videos/R0mjRXhUoac)を参照）
- 二項係数の面白い等式として、二項定理の $x$ と $y$ に $1$ を入れると、以下の式が成り立つ

$$
{}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1+\cdots+{}_n \mathrm{C} _{n-1}+{}_n \mathrm{C}_n=2^n
$$

二項定理

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