点と直線の距離
概要
直線
で計算できる 。「距離」とはつまり点から直線に下ろした垂線の長さで、図のイメージは以下の通り。
絶対値が出てくるので、高校生から嫌われる傾向にあるが、円と直線の位置関係 を調べるときなど、大学入試において頻繁に使う公式の一つになるので、使い方だけでも確実に押さえておこう。
例
点
なので、距離は、
と求められる。
証明
図形的に示すあらすじとしては、以下の通り(都合上、
点
図形で示すと、上下関係や正負がわからないので、このように絶対値で話を進める必要がある。
補足
- 2013年に大阪大学の入試問題で出題されたことでも有名
- 慣れるまでは、必ず直線の式を
の形に直してから使うようにしよう - 絶対値を付けるのを忘れがちなので、注意
- 分子は、直線の式の
に点の座標を代入して絶対値、分母は三平方の定理っぽい形と覚えておくと、思い出しやすい - 証明の都合上、
は ではないとしたが、 になる場合は、直線は 軸に平行になるので、 座標の差で直線までの距離を求められる。結果として、上の形と同じになる( も になると直線の式を表さないので、 )
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