## 概要

$2$ 次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の $2$ つの解を $\alpha,\beta$ とすると、

$$
\begin{align}
\alpha +\beta &= -{\frac{b}{a}}\\\\
\alpha \beta &={\frac{c}{a}}
\end{align}
$$

が成立することを **「解と係数の関係」** という。（ただし、 $a\neq 0$ とする）鬼のようによく出てくる。忘れそうになっても、次の式を展開して思い出せる。

$$
ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)
$$

## 証明

$2$ 次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha,\beta$ として、めんどくさいので $D=b^{2}-4ac$ とおくと、

$$
\begin{align}
\alpha +\beta &={\frac{-b+{\sqrt{D}}}{2a}}+{\frac{-b-{\sqrt{D}}}{2a}}\\\\
&={\frac{-2b}{2a}}\\\\
&=-{\frac{b}{a}}\\\\
\alpha \beta &={\frac{-b+{\sqrt{D}}}{2a}}\times{\frac{-b-{\sqrt{D}}}{2a}}\\\\
&={\frac{b^{2}-D}{4a^{2}}}\\\\
&={\frac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}\\\\
&={\frac{c}{a}}
\end{align}
$$

となり、示される。

### 補足

**符号を忘れやすい（特に和の方）** ので注意。

**逆も大事**。つまり、$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ に上の関係式が成り立つのなら、$\alpha,\beta$ は $2$ 次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の $2$ つの解になる。

また、$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ は基本対称式であることは押さえておこう。（基本対称式を忘れた方は、[こちらの「基本対称式」の辞書をチェック](https://dic.okedou.app/words/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E5%BC%8F)）

さらに、 **$3$ 次方程式バージョン**もよく出てくる。つまり、$3$ 次方程式 $ax^{3}+bx^2+cx+d=0$ の $3$ つの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると、

$$
\begin{align}
&\alpha +\beta +\gamma = -{\frac{b}{a}}\\\\
&\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ={\frac{c}{a}}\\\\
&\alpha \beta \gamma = -{\frac{d}{a}}
\end{align}
$$

が成立する。（ただし、$a\neq 0$ とする）これも、**下の式を展開して、係数を比較すれば思い出せる**。

$$
ax^{3}+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
$$

解と係数の関係

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