保存力

概要

ある点から別の点に物体を移動させる間、物体にはたらく力のする仕事が、移動する経路によらないとき、その力を保存力という。ネーミングセンスがなかなかしっくりこない用語の一つとして有名。

逆に、経路によって仕事が異なる場合は、その力を非保存力という。

仕事が移動する経路によらないとは、スタートからゴールへのどんな行き方を考えても、仕事の量が一緒になるということ。定義だけ眺めていても、なかなか頭に入ってこないので、例を通じて確認しよう。

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例

【重力】 重力が保存力であることを確認する。ここでは、下の図のように、質量 の物体をA地点からB地点に運ぶとする。このとき、次の2つの経路を考えて、重力がする仕事の量が等しいことを確認しよう。

経路①：A→P→B

経路②：A→B（斜めに直線移動）

経路①について、A→Pの間で重力がする仕事は、仕事の定義より

であり、P→Bの間では、重力の向きと変位の向きが直角なので、重力がする仕事は である。よって、経路①において重力がする仕事は

と求められる。

経路②について、A→Bの間で重力がする仕事は、仕事の定義より

と求められる。

よって、経路①②で重力がする仕事の量は等しく、またこれら以外のどんな経路を考えても（引き戻したとしても！）仕事の量は変わらないので、重力は保存力である。

【弾性力（発展）】 弾性力が保存力であることを確認する。ここでは、下の図のように、質量 の物体をA地点からB地点に動かすとする。このとき、次の2つの経路を考えて、ばね定数 のばねの弾性力がする仕事の量が等しいことを確認しよう。

経路①：A→B（一発で終了）

経路②：A→P→B（Pに寄り道する）

経路①について、A→Bの間で弾性力がする仕事は、

と求められる。（仕事の積分計算を知らない方は、興味があれば仕事の辞書の発展事項で確認しよう！）

経路②について、A→Pの間で弾性力がする仕事は、

であり（奇関数の積分の性質を使ってもOK）、P→Bの間で弾性力がする仕事は、

であるので（積分の中身を としないように！ がマイナスの区間であることに注意）、経路②において弾性力がする仕事は

と求められる。

よって、経路①②で弾性力がする仕事の量は等しく、またこれら以外のどんな経路を考えても（途中で引き返してきても！）仕事の量は変わらないので、弾性力は保存力である。

補足

保存力を動画で深く学びたい！ という方には、化学好きな東工大生・かずきさんの動画がオススメ。保存力の定義から始まり、エネルギー保存則まで、数学的に深く学べる。

なんでこんな力の分類をわざわざ考えるかというと、実は保存力にだけ特権が与えられていて、保存力に対しては「位置エネルギー」を定義することができるという違いがあるため。

詳しくは位置エネルギーの辞書を参照して欲しいが、位置エネルギーとは、物体がある位置にいるだけで相対的に持つエネルギーのことで、スタートとゴールだけで仕事の量が決まるという保存力の性質が効いてくる。

ちなみに位置エネルギーは、大学物理では「ポテンシャルエネルギー」と呼ばれる。位置エネルギーよりも、こっちの呼び名の方がしっくりくるね、と横の席の子と話すことになる。