力積と運動量の関係
概要
質量
また、力
と表されるので、力積と運動量の関係は
と表すことができる。
運動量と力積はベクトルであることに注意が必要で、この関係式もベクトルの式になっている。つまり、成分に分けて式を立てることができる。例えば平面上で運動していて、速度や受けた力積の
と各成分で関係式が成立する。実際に使う場合は、このように成分ごとに考えるのがほとんど。
この関係式の使い方としては、
や がわかっているもしくは計算できるときに、 を求める。 と がわかっていて、運動量変化から力積 を求める。
ことが多い。
導出
使えればいいじゃないか!という声もある一方で、導出まで納得しておくと思い出しやすいし、物理の応用力につながるので、是非考えてみよう。
まずは基礎編として、力が時間によらず一定の場合を考える。力
※力が一定なので、加速度は時間
両辺に
となり、運動量変化=力積の関係式が示される。
では発展編として、力が一定ではない場合を考える。(「俺は物理の強者になりたいんじゃ〜!」という方向けなので、興味なければ読み飛ばしてください)よくわからない! という方は、東大物理学科卒ひぐまさんの動画がオススメ。
ベクトルのまま計算すると、積分などがややこしく見えるので、まず
とおく(各成分は
となる。また、運動方程式より
と変形できる。(詳しくは、運動量の辞書を参照)これを時刻
となって示される。
※ 左辺は、
が示されるので、ベクトルの形にまとめて
が成り立つ。
補足
この、運動量変化は物体が受けた力積に等しい、というのと似た関係に、運動エネルギーの変化は物体がされた仕事に等しい、という関係がある(運動エネルギーの辞書で確認しよう)。
物理の美しさが詰まったテーマである一方で、とてもよくこんがらがるので、ここで整理しておこう。
- 運動エネルギーの変化=された仕事、の関係式は、スカラーの関係式であり、成分という概念がない。(力には成分があるんだけどね)
- 運動量の変化=受けた力積、の関係式は、ベクトルの関係式であり、成分に分けて考えることができる。